Nombre pyramidal carré

Le 4e nombre pyramidal carré est
12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal carré est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide de base carrée, dont chaque couche représente un nombre carré.

Les dix premiers[1] sont 1, 1+4 = 5, 5+9 = 14, 14+16 = 30, 55, 91, 140, 204, 285 et 385.

On montre par récurrence que pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre pyramidal carré, somme des n premiers nombres carrés, est :

Les deux seuls nombres pyramidaux carrés qui sont des nombres carrés sont P1(4) = 1 = 12 et P24(4) = 4 900 = 702. Ce résultat, conjecturé par Édouard Lucas en 1875, fut achevé de prouver par George Neville Watson en 1918[2], ce qui résout le « problème boulets de canon[3] » : peut-on former, avec le même nombre de boulets, un carré étalé au sol et une pyramide de base carrée ?

Le n-ième nombre pyramidal carré est le quart du (2n)-ième nombre tétraédrique.

La somme des n-ième et (n – 1)-ième nombres pyramidaux carrés est le n-ième nombre octaédrique[4].

Combien y a-t-il de carrés distincts dans une grille carrée n x n ?

  • Le nombre de carrés 1 x 1 est n2.
  • Le nombre de carrés 2 x 2 est (n-1)² , comme on peut le voir en formant une première ligne de carrés 2 x 2 en haut de la grille.
  • Plus généralement, le nombre de carrés k x k (1 ≤ kn) est (nk + 1)2.

Le nombre total de carrés (petits et grands) est alors donné par le nombre pyramidal carré correspondant : 1 carré dans une grille 1 x 1, 5 carrés (un 2 x 2 et quatre 1 x 1 ) dans une grille 2 x 2, ... 55 carrés de taille 1, 2, 3, 4 ou 5 dans une grille 5 x 5...

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