Număr piramidal pătratic

Reprezentare figurativă (geometrică) a numărului pătrat piramidal 30 = 1 + 4 + 9 + 16

Un număr pătratic piramidal, pătrat perfect piramidal sau număr pătrat piramidal este un număr figurativ care reprezintă numărul de sfere stivuite într-o piramidă cu o bază pătrată. Numerele pătrat piramidale rezolvă, de asemenea, problema numărului de pătrate dintr-o grilă n × n. Numerele piramidale (cu n laturi triunghiulare) sunt adesea confundate cu numerele pătrat piramidale (cu 4 laturi).

Primele numere pătrate piramidale sunt:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... [1]

Aceste numere pot fi exprimate prin formula:

Acesta este un caz special al formulei lui Faulhaber și poate fi dovedit printr-o inducție matematică.[2] O formulă echivalentă este dată în manuscrisul lui Leonardo Fibonacci, Liber Abaci (1202, ch. II.12).

În matematica modernă, numerele figurate sunt formalizate prin polinoame Ehrhart:

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.[3]

Funcția generatoare pentru numerele piramidale este:

Numerele piramidale pătrate pot fi, de asemenea, exprimate ca suma coeficienților binomiali:

Coeficienții binomiali care apar în această expresie prezentată sunt numere tetraedrice. Această formulă exprimă numerele piramidale ca suma a două numere, la fel ca orice număr pătratic este suma a două numere triunghiulare consecutive. În această sumă, unul dintre cele două numere tetraedrice reprezintă numărul de sfere din piramida pliată care sunt situate deasupra sau pe o parte a diagonalei bazei pătrate a piramidei; iar al doilea - reprezintă numărul de sfere situate pe cealaltă parte a diagonalei. Numerele piramidale sunt, de asemenea, legate de numerele tetraedrice după cum urmează:[4]:

Suma a două numere piramidale consecutive este un număr octaedric.

  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A., ed. (). Handbook of Mathematical Functions. Applied Math. Series. 55. National Bureau of Standards. pp. 813. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Beiler, A. H. (). Recreations in the Theory of NumbersNecesită înregistrare gratuită. Dover. pp. 194. ISBN 0-486-21096-0. 
  • Goldoni, G. (). „A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two”. The Mathematical Intelligencer. 24 (4): 67–69. doi:10.1007/bf03025326. 
  • Sigler, Laurence E. (trans.) (). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 260–261. ISBN 0-387-95419-8. 
  • Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (ed. 3). Pearson/Addison Wesley. ISBN 9780321455369. 

Copyright